求面積的姊妹題

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首先給各接點和交點命名：

連結FE：

S_{\triangle{EFC}}=\frac{1}{6}\cdot S_{\triangle{ABC}}

推出：

\begin{split}S_{\triangle{EFA}}&=S_{\triangle{AEC}} - S_{\triangle{EFC}}\\&=\frac{1}{6}\cdot S_{\triangle{ABC}}\end{split}

另：

\begin{split}\cfrac{S_{\triangle{AHF}}}{S_{\triangle{EHF}}}&=\cfrac{S_{\triangle{ABF}}}{S_{\triangle{EBF}}}\\&=\cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}\\&=\frac{3}{2}\end{split}

推出：

\begin{split}S_{\triangle{AHF}}&=(\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5})\cdot S_{\triangle{ABC}}\\&=\frac{1}{10}\cdot S_{\triangle{ABC}}\end{split}\tag{1}

連結DF：

S_{\triangle{DFC}}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle{ABC}}

推出：

\begin{split}S_{\triangle{ADF}}&=S_{\triangle{ADC}} - S_{\triangle{DFC}}\\&=(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})\cdot S_{\triangle{ABC}}\\&=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle{ABC}}\end{split}

另：

\begin{split}\cfrac{S_{\triangle{AGF}}}{S_{\triangle{DGF}}}&=\cfrac{S_{\triangle{ABF}}}{S_{\triangle{BDF}}}\\&=\cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\&=3\end{split}

推出：

\begin{split}S_{\triangle{AGF}}&=\frac{3}{4}\cdot S_{\triangle{ADF}}\\&=\frac{1}{4}\cdot S_{\triangle{ABC}}\end{split}\tag{2}

聯合(1)(2)式，可得：

\begin{split}S_{\triangle{AGH}}&=S_{\triangle{AGF}}-S_{\triangle{AHF}}\\&=(\frac{1}{4}-\frac{1}{10})\cdot S_{\triangle{ABC}}\\&=\frac{3}{20}\cdot S_{\triangle{ABC}}\\&=18\end{split}

推出：

S_{\triangle{ABC}}=120
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