正方形與圓的趣題

一個正方形面積為64，三個相同大小的圓能完全覆蓋這個正方形，請問這些圓的直徑最小是幾？

我也暫時沒有解決…已找到解題方法，下面將作介紹。

首先我們知道，這是一道數學題，也是一道實驗題。我們可以在生活中輕易找到三個相同大小的圓片，比如三個硬幣。則我們可以在紙上畫一個正方形，之後嘗試用圓去盡可能的把它蓋住。

這時我們會發現，最難以蓋住的地方是正方形的四個角，因為圓雖然肚子很大，但是它沒有角。正方形在這裏不如稱作「四角形」。

那麼要把這個四角形蓋住，三個圓就要分工合作，一個圓負責至少兩個角。

設圓的直徑正好等於正方形的邊長，則兩個圓可以覆蓋住一半的正方形：

則正方形的餘下部份，第三個圓是蓋不住的。

這時我們把圓的直徑擴大，則對於左圓而言，它最大限度蓋住正方形的辦法，是其中心水平往右移動，與正方形的兩個角保持相接：

設圓此時的半徑為r，它的圓心與正方形左邊的距離為i，則有：

r^2=4^2+i^2

則上圓的直徑的同樣增加，它往下移動之後，正好覆蓋正方形上方的餘下部份。

設其圓心與正方形上邊距為j，則有：

r^2=j^2+(4-i)^2

第三個圓正好能把正方形餘下的右下角部份覆蓋，這個部份等同於一個直角三角形。

則有：

(2r)^2=(8-2j)^2+(8-2i)^2

整理上述式子，可得：

j^2=8i，j=2，i=\frac{1}{2}

則圓的半徑為：

r=\sqrt{16+i^2}=\frac{\sqrt{65}}{2}

直徑d則為：d=2r=\sqrt{65}

綜上所述，三個相同的圓，其直徑為\sqrt{65}可正好覆蓋住面積為64的正方形。