計算圓周率公式歷史

F. Vieta(1540-1603)：

\frac{\pi}{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\times\cdots

J. Wallis(1616-1703)：

\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times\cdots

Lord William Brouncker(1620?-1684)：

\cfrac4{\pi}=1+\cfrac1{2+\cfrac{9}{2+\cfrac{25}{2+\cfrac{49}{2+\cdots}}}}

J. Gregory(1638-1675)和莱布尼茨G. W. Leibniz(1646-1716)：

\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots

即

\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}

牛頓Issac Newton(1666)：

\begin{split}π&=\frac{3\sqrt{3}}{4}+24\Big(\frac{1}{12}-\frac{1}{5\cdot 2^5}-\frac{1}{28\cdot 2^7}+\cdots\Big)\\&=\frac{3\sqrt{3}}{4}+24\int_{0}^{\frac{1}{4}}\sqrt{x-x^2}d x\end{split}

以上的公式都收斂的很慢。

馬青公式John Machin(1706)：

π=16\cdot arctan\frac15-4\cdot arctan\frac1{239}

上式可以這樣展開：

\begin{equation*} \begin{split} \frac{π}{4}=4&\times(\frac{1}{1\times5^1}-\frac{1}{3\times5^3}+\frac{1}{5\times5^5}-\frac{1}{7\times5^7}+\cdots) \\ &-(\frac{1}{1\times239^1}-\frac{1}{3\times239^3}+\frac{1}{5\times239^5}-\frac{1}{7\times239^7}+\cdots) \end{split} \end{equation*}

馬青用這個公式計算到了圓周率100位。

歐拉Leonhard Euler (1707-1783)的成名之作：

\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots

另歐拉也得出了與馬青相似的公式：

π=20\cdot arctan\frac17-8\cdot arctan\frac3{79}

高斯也不甘示弱C. F. Gauss(1777-1855):

\pi=48arctan\frac{1}{18}+32arctan\frac{1}{57}-20arctan\frac{1}{239} \pi=48arctan\frac{1}{38}+80arctan\frac{1}{57}+28arctan\frac{1}{239}+96arctan\frac{1}{268}

拉馬努金Srinivasa Ramanujan(1914)：

\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(26390k+1103)}{396^{4k}}*\frac{(4k)!}{(k!)^4}}

能直接算第N位的十六進制數(1997)：

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

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楚德諾夫斯基公式（1989年）：

楚德諾夫斯基兄弟對拉馬努金公式的改良：

\frac{1}{\pi}=12\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^k(6k)!(545140134k+13591409)}{(3k)!(k!)^3(640320)^{3k+\frac32}}

博溫公式（1987年）：

加拿大數學家Peter和Jonathan Borwein在1987年得到了以下超級公式：

\frac{1}{\pi}=12\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n(6n)!(a+bn)}{(n!)^4(3n)![5280(236674 + 30303\sqrt{61})]^{3n+\frac23}} \text{With }\\ a = 212175710912\sqrt{61} + 1657145277365 \\\text{and }\\ b = 13773980892672\sqrt{61} + 107578229802750

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資料來源：

• https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/alg_numtheory/pi.pdf

附錄：

• 3blue1brown發現了無損碰撞能得出圓周率，視頻來自這裏。