一元二次方程
ax^2+bx+c=0
它的求根公式
x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}或
x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca}b^2-4ac用來判斷有無實數根。
韋達定理
\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\end{cases}推導過程
一，將原方程轉換
x^2+\frac bax=-\frac ca\tag{1}二，利用二項式定理
我們在帕斯卡三角中知道二次方的二項式為：
(A+B)^2=A^2+2AB+B^2設
\begin{cases}A=x\\B=\frac b{2a}\end{cases}則該二項式轉換為：
\Big(x+\frac b{2a}\Big)^2=x^2+\frac bax+\Big(\frac b{2a}\Big)^2\tag{2}三，將（1）代入（2）即可得求根公式
\Big(x+\frac b{2a}\Big)^2=-\frac ca+\Big(\frac b{2a}\Big)^2將上式左右開方，即得
x+\frac b{2a}=\pm\sqrt{-\frac ca+\Big(\frac b{2a}\Big)^2}移項，即得最終的求根公式。
根號內的式子為判別式，當該式大於0時有兩個不同實根，等於0時兩根為相同實根，小於0時是兩個共軛虛根。
兩根相加、相乗可得證韋達定理。
也可以用「配方法」，其實是上面方法的更為直接的表述：
x^2+\frac bax=-\frac ca\\[0.777em]⇓\\[0.777em]x^2+\frac bax+\Big(\frac b{2a}\Big)^2=-\frac ca+\Big(\frac b{2a}\Big)^2\\[0.777em]⇓\\[0.777em]\Big(x+\frac b{2a}\Big)^2=-\frac ca+\Big(\frac b{2a}\Big)^2\\[0.777em]⇓\\[0.777em]x+\frac b{2a}=\pm\sqrt{-\frac ca+\Big(\frac b{2a}\Big)^2}