【無字證明】均值不等式

\frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}

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數學推導過程

x,y∈R，(x-y)²\geqslant0，推出：

\frac{x^2+y^2}{2}\geqslant xy

令a=x,b=y，得：

ab\leqslant \frac{a^2+b^2}{2}

令a=x^2,b=y^2，得：

\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}

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高中沒學過的中間項

將\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}兩邊平方，得：

ab\leqslant \Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2

因為\big(\frac{a+b}{2}\big)^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{(a-b)^2}{4}，所以得到：

ab\leqslant \Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2\leqslant \frac{a^2+b^2}{2}

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更強大的無字證明

\frac{2ab}{a+b}\leqslant \sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}\leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}