一元三次方程的一般形式為:
ax^3+bx^2+cx+d=0下面是得到求根公式的步驟:
- 得到其拐點的横坐標
- 將函數圖像平移,使拐點落在y軸上
- 利用二項式定理,得到求根公式及其判別式
一,拐點的横坐標
先將其轉換為函數:
f_0(x)=ax^3+bx^2+cx+d則求方程的解,也就相當於求函數y=0時x的值。
上圖是y_1=2x^3-18x^2+50x-36的圖像,可見它是一個中心對稱圖形,其中C點是它的對稱中心,稱作「拐點」,而A點和B點是兩個「駐點」。
將函數求導兩次,得其二階導函數為:
f_0''(x)=6ax+2b當f_0''(x)=0時,求得x=-\frac b{3a},即為其拐點的横坐標。
二,平移函數圖像
我們先將原函數除以a,這樣一來四個系數就化簡為了三個:
f_1(x)=\frac {f_0(x)}a=x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da如果將x-\frac b{3a}置換原方程的x,則可使圖像平移,使其拐點落在y軸上。
f_2(x)=f_1(x-\frac b{3a})=\Big(x-\frac b{3a}\Big)^3+\frac ba\Big(x-\frac b{3a}\Big)^2+\frac ca\Big(x-\frac b{3a}\Big)+\frac da進一步化簡,得:
f_2(x)=x^3+\Big(\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}\Big)x+\Big(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac da\Big)設
\begin{cases}p=\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}\\[0.777em]q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac da\end{cases}代入,就得到了一個非常簡單的函數:
f_2(x)=x^3+px+q它的圖像是:
其中,p是其拐點的斜率,q是其y軸上的截距。
這個函數圖像的實際值為y_2=x^3-2x+3。
三,利用二項式定理
根據二項式定理:
(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3整理,得:
(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0若令u+v=x,則發現它跟上面的一元三次函數是等價的。考慮用p和q去替換u和v,令
\begin{cases}-3uv=p\\-(u^3+v^3)=q\end{cases}將它們處理成有共同項的式子,得:
\begin{cases}u^3v^3=-\Big(\frac p3\Big)^3\\u^3v^3+(v^3)^2=-qv^3\end{cases}二式合併,得:
(v^3)^2+qv^3-\Big(\frac p3\Big)^3=0將上式的v^3視為未知數,則發現這是一個一元二次方程。用它的求根公式可以求出:
v^3=-\frac q2\pm\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}因為u和v是兩兄弟,x=u+v,則最終得到:
x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}其中\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3是判別式,當它大於0時僅有一個根,當它等於0時有兩個根,當它小於零時有三個根。但當p,q=0時也僅有一個根(或者說是兩個相同的根)。
在得到最終結果時,別忘了把平移的量-\frac b{3a}再加回去。
發現一個很有意思的現象,從二到三到難度會劇增,例如物理上二體有解,加一個就無解了
學無止境。