為何e^{x}的導數等於它本身？
以下是 e^x 的導數是其本身的原因：
1. 導數的定義：
函數 f(x) 在 x 的導數，記為 f'(x) 或 \frac{df}{dx}，定義為： f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
2. 套用 e^x：
將 f(x) = e^x 代入導數定義： \frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^x}{h}
3. 指數的性質：
利用指數的性質 e^{a+b} = e^a \cdot e^b，我們可以改寫上式： \frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}
4. 提出 e^x：
\frac{d}{dx} e^x = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h}5. 關鍵極限：
\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1證明：
以 e 的定義開始
我們知道： e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
進行變換
令 h = \frac{1}{n}。 當 n \to \infty 時， h \to 0。 我們可以將極限重寫為： e = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}
騰挪方程式以匹配我們要證明的極限
- 將方程式的兩邊都提高到 h 次方： \lim_{h \to 0} e^h = \lim_{h \to 0} (1 + h)
- 從兩邊減去 1： \lim_{h \to 0} (e^h - 1) = \lim_{h \to 0} h
- 將兩邊都除以 h： \lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} 1
極限的結果
由於 \lim_{h \to 0} 1 = 1，我們得到： \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
6. 結果：
將這個極限代回導數式，我們得到： \frac{d}{dx} e^x = e^x \cdot 1 = e^x
結論：
e^x 的導數是它本身，e^x 是唯一一個導數等於自身的函數。