懸鏈線

歷史背景

最早注意到這個曲線的是達芬奇,他在畫到項鏈時,兼職數學家的他就會去思考到底這是一條甚麼曲線。但他未能解出來。

後來伽利略猜想這應該是條拋物線,大概很多人也感覺如此。不過惠更斯在17歲時就證明了它不是拋物線。

1690年,雅各布•伯努利在《教師學報》上徵集這個問題的答案。一年之後,惠更斯(時年62歲)、萊布尼茨、約翰•伯努利,三位學者用不同的方法都給出了正確解答。

作為問題提出者,雅各布用了一年也沒有解決,原因是雅各布一直以為它是一條拋物線並要證明它。約翰是他的弟弟,只用了一個晚上便解決了這個問題。

一般形式

y=a\cdot\cosh(\frac{x}{a})

其中,a表示懸鏈線最低點與x軸的距離。

推導過程

設懸鏈線的最底點為A,取它上面任意一點C。那麼A點所受到的力H的方向是水平向左,C點受到一個斜向上的拉力T。

 

設AC段的質量為m,T與水平線的夾角為θ,對AC段進行受力分析,則有:

\begin{cases}T\cdot\sin\theta=mg\\T\cdot\cos\theta=H\end{cases}

上面二式相除,得:

y'=\tan\theta=\frac{mg}{H}

設s是AC曲線段的長度,ρ是繩子的線密度,則上式可寫作:

y'=\frac{sρg}{H}

b=\frac{ρg}{H},上式可再簡化為:

y'=b\cdot s\tag{1}

與此同時,根據畢氏定理:

ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2}dx

對上式積分,得:

s=\int\sqrt{1+(y')^2}dx\tag{2}

將(2)式代入(1)式,得:

y'=b\cdot\int\sqrt{1+(y')^2}dx

將上式整理之後微分,得:

y''=b\cdot\sqrt{1+(y')^2}

p=y',則y''=\frac{dp}{dx},那麼上式可以寫作:

\frac{dp}{dx}=b\cdot\sqrt{1+p^2}

移項,得:

\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}dp=b\cdot dx

將上式兩邊積分,得:

\ln(p+\sqrt{1+p^2})=b\cdot x+C_1

因為p是懸鏈線的斜率,當x為0時它的斜率也是0,則得出C_1=0,即:

\ln(p+\sqrt{1+p^2})=b\cdot x
對上式進行推算:

[katex display=true]e^{bx}=p+\sqrt{1+p^2}[/katex]

[katex display=true](e^{bx}-p)^2=1+p^2[/katex]

[katex display=true]p=\frac{e^{2bx}-1}{2e^{bx}}=\frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2}[/katex]

最終得到:

y'=\frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2}

將上式兩邊積分,得:

y=\frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2b}+C_2

這就證明了懸鏈線是一個雙曲餘弦函數。

需要補充的是,懸鏈線的兩個懸掛點不一定要平齊,甚至越過中線,依然能保持形狀不變,等同於截取曲線的一部份。

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