一元三次方程及其求根公式

一元三次方程的一般形式為：

ax^3+bx^2+cx+d=0

下面是得到求根公式的步驟：

先將其轉換為函數：

f_0(x)=ax^3+bx^2+cx+d

則求方程的解，也就相當於求函數y=0時x的值。

上圖是 $y_1=2x^3-18x^2+50x-36$ 的圖像，可見它是一個中心對稱圖形，其中C點是它的對稱中心，稱作「拐點」，而A點和B點是兩個「駐點」。

將函數求導兩次，得其二階導函數為：

f_0''(x)=6ax+2b

當 $f_0''(x)=0$ 時，求得 $x=-\frac b{3a}$ ，即為其拐點的横坐標。

我們先將原函數除以a，這樣一來四個系數就化簡為了三個：

f_1(x)=\frac {f_0(x)}a=x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da

如果將 $x-\frac b{3a}$ 置換原方程的x，則可使圖像平移，使其拐點落在y軸上。

f_2(x)=f_1(x-\frac b{3a})=\Big(x-\frac b{3a}\Big)^3+\frac ba\Big(x-\frac b{3a}\Big)^2+\frac ca\Big(x-\frac b{3a}\Big)+\frac da

進一步化簡，得：

f_2(x)=x^3+\Big(\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}\Big)x+\Big(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac da\Big)

設

\begin{cases}p=\frac ca-\frac{b^2}{3a^2}\\[0.777em]q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac da\end{cases}

代入，就得到了一個非常簡單的函數：

f_2(x)=x^3+px+q

它的圖像是：

其中，p是其拐點的斜率，q是其y軸上的截距。

這個函數圖像的實際值為 $y_2=x^3-2x+3$ 。

根據二項式定理：

(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3

整理，得：

(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0

若令 $u+v=x$ ，則發現它跟上面的一元三次函數是等價的。考慮用p和q去替換u和v，令

\begin{cases}-3uv=p\\-(u^3+v^3)=q\end{cases}

將它們處理成有共同項的式子，得：

\begin{cases}u^3v^3=-\Big(\frac p3\Big)^3\\u^3v^3+(v^3)^2=-qv^3\end{cases}

二式合併，得：

(v^3)^2+qv^3-\Big(\frac p3\Big)^3=0

將上式的 $v^3$ 視為未知數，則發現這是一個一元二次方程。用它的求根公式可以求出：

v^3=-\frac q2\pm\sqrt{\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3}

因為u和v是兩兄弟， $x=u+v$ ，則最終得到：

x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}

其中 $\Big(\frac q2\Big)^2+\Big(\frac p3\Big)^3$ 是判別式，當它大於0時僅有一個根，當它等於0時有兩個根，當它小於零時有三個根。但當p,q=0時也僅有一個根（或者說是兩個相同的根）。

在得到最終結果時，別忘了把平移的量 $-\frac b{3a}$ 再加回去。