經典幾何題：面由心生

作輔助線：將\triangleBPC繞B點逆時針旋轉60°，得到\triangleBP'C'。因\triangleABC是正三角形，∠ABC=60°，因此點C'與點A重合。

連接P'P，得ΔP'PB是正三角形，推出∠BPP'=60°。

在ΔAP'P中，P'A=PC=5，P'P=PB=4，AP=3，推出\triangleAP'P是直角三角形，∠APP'=90°。

則∠APB=∠APP'+∠BPP'=150°。

作AD⊥BP，垂足為D，連接PD。得∠APD=180°-150°=30°。

在直角三角形APD中：\begin{cases}AD=AP·sin30°=\cfrac 32\\[0.5em]PD=AP·cos30°=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\end{cases}\\[0.5em]⇓\\[0.5em]BD=PD+BP=\frac{3\sqrt{3}}{2}+4\\[0.5em]⇓\\[0.5em]AB^2=AD^2+BD^2=25+12\sqrt{3}

最終可得\triangleABC的面積：