數字24和70構成的恒等式

多聯骨牌跟多聯鑽石都有12個，多聯蜂窩和索瑪方塊都是7個。

12 的倍數有24,36,48，7的倍數是70,700。

下面我們欣賞一個由24跟70組成的恒等式：

下面是引用的內容，說它是某橢圓方程的一組解，還說跟「高維球密堆積」有關。我是聽不太懂，所以先記錄下。来自這裏。

补充几点。

1. 很多人反复提到了椭圆曲线，这个问题对应的曲线是
${\displaystyle E:y^2=x^3-36x}$

令
${\displaystyle n,m=\frac{x}{12}-\frac{1}{2},\frac{y}{72}}$
, 则原等式成立

曲线E一共有13个整点，分别为[-6, 0], [-3, 9], [-3, -9], [-2, 8], [-2, -8],

[0, 0], [6, 0], [12, 36], [12, -36], [18, 72], [18, -72], [294, 5040], [294, -5040]。

其中，[294, 5040]即对应n,m=24,70。

2. 
${\displaystyle 1^2+\cdots +{24}^2={70}^2}$
与Leech Lattice紧密关联。

高维球密堆积是一个很有意思、不容易又不太热门的领域。我们知道二维球密

堆积是正六边形网格，三维是在二维的基础之上进行错排，形成面心立方、体心立方等密堆积结构。而Leech Lattice是24维球的密堆积结构，由Leech在1967年得到，随后Conway从这个结构导出了一个散在单群
${\displaystyle Co1}$
(Sporadic simple group) 。

再之后，1988年，Conway和 N.J.A Sloane出版了一本书，"sphere packings: lattices and groups"，

详细介绍了球密堆积与群（尤其是散在单群）以及模形式之间的联系。大家对于Sloane老爷子也

许没什么印象，但想必对数列网站OEIS(https://oeis.org)很熟悉，Sloane老爷子是该

网站的创始人。

        好像有点扯远了，但是这个恒等式实在是很有意思。再扯远一点，sporadic group和

modular form之间的联系被称为魔群月光猜想，可以跟超弦理论联系在一起。这一块内容很难，

论坛里好像没人讨论这个问题。

链接：
关于Leech Lattice 简介
https://pi.math.cornell.edu/~bazse/leechlattice.pdf
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Leech_lattice
散在单群
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sporadic_simple_group