🍥黄金螺旋的兄弟螺旋

聞黄金螺旋有個哥哥,我用inkscape作了一個圖,以對角線為直徑,連通多個半圓,但是我猜這個「兄弟螺旋」的正確作法不是這樣的。

(此前我還以為是四分之一橢圓…)

隨後,我認為,既然黄金螺線是一個等角螺線,那麼它的兄弟螺線也應該是一個黄金螺線,也就是說拿裏面的放大,就會變成兄弟螺線。這才是正確的作法。

那麼,黄金螺線哥哥的四分之一圓弧的中心在哪裏呢?寡人思考良久,最終觀察到它們起初經過的三個點可能是對應的。

這樣一來,如果能證明以下兩個三角形是相似的,那就基本能夠確定它的四分之一圓弧及其旋轉中心。

證明:在這兩個直角三角形中,\frac{\phi}1=\frac{1}{\phi-1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\phi-1)}

上式證明了這兩個三角形是相似的,因此就得到了黄金螺線哥哥的¼旋轉中心:

如果以它們的趨向為中心建立極坐標,這時我們會發現,哥哥反而是「標準螺線」,因為它跟極坐標的幾個交點都正好是φ的n次方。

黄金螺線在極坐標的方程是:

\rho=ke^{\alpha \theta}

設哥哥方程的參數為k=1,\alpha=\frac2\pi\ln\phi,則其方程為:

\rho_1=\phi^{\frac2\pi \theta}

弟弟方程應為:

\rho_2=\frac{\sqrt{2\phi}}{\phi^2}\phi^{\frac2\pi \theta}=\sqrt2\phi^{\frac2\pi \theta-\frac32}

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